まとめすぎた高校入試の因数分解難問~難関私立の問題

高校入試,因数分解,難問

難関の私立高校の因数分解対策になればと思い、難問をまとめてみました。最初のほうは標準レベルの問題もありますが、主に、下に行くほどに難問となっています。当然のことながら解いてみて難しいと感じるかどうかには、個人差があります。なので、ちょっと解いてみてちらほら間違えるのであれば、とりあえず必要と思われるレベルの問題を一通り解いてみることをおすすめします。また、問題の一覧の後に解答があります。

文字が2種類の因数分解~高校入試の標準から難問
① \(a^2-4a-4b^2+4\)を因数分解しなさい。

市川高校
② \(x^2-y^2+2y-1\)を因数分解しなさい。

青雲高等学校
③ \(x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3\)を因数分解しなさい。

愛光高等学校
④ \(x^3y+x^2y-xy^3-xy^2\)を因数分解しなさい。

豊島岡女子学園高等学校
⑤ \((2x+1)(2x-1)-3(x-2)^2\)を因数分解しなさい。

桐朋高等学校
⑥ \(16x^2-24xy+9y^2-16x+12y-12\)を因数分解しなさい。

明治大学付属中野高等学校
⑦ \(x^2-xy+2x-3(y+1)\)を因数分解しなさい。

ラ・サール高等学校
⑧ \((x^2+4xy)^2-8(x^2+4xy)y^2-48y^4\)を因数分解しなさい。

立命館高等学校
⑨ \((a+b)^2-(ab+1)^2-2ab+1\)を因数分解しなさい。
x-2y=\(-\sqrt{3}\)、x+y=\(2\sqrt{3}-\)3のとき
\(x^2-xy-2y^2+3x-6y\)の値を求めよ。

東大寺学園高等学校

次に文字が3種類ある式を因数分解する問題です。

流石に3種類あると、先程と比べて、選択や思考の幅が少し広くなります。

文字が3種類の因数分解~高校入試の標準から難問
① \((a-3b)x^2+(3b-a)(x+2)\)を因数分解しなさい。

立命館高校
② \((a+2c)(a-2c)-b(b-4c)\)を因数分解しなさい。

ラ・サール高校
③ \((2a+b)(2b-b)+6bc-9c^2\)を因数分解しなさい。

福岡大学付属大濠高校
④ \(ca-cb-a^2+2ab-b^2\)を因数分解しなさい。

成蹊高校
⑤ \(a^4-a^2c-b^4+b^2c\)を因数分解しなさい。

早稲田大学系属早稲田実業学校高等部
⑥ \(a^2-b^2-c^2+4a-2bc+4\)を因数分解しなさい。

早稲田大学系属早稲田実業学校高等部
⑦ \(-a^2+4b-4c^2-4ca+8b+4\)を因数分解しなさい。

東大寺学園高校
⑧ \(x^2+(2a-3b-6)x-6ab+18b\)を因数分解しなさい。

開成高校
⑨ \(a^3+b^3-a^2b-ab^2-bc^2-c^2a\)を因数分解しなさい。
また、\(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)、\(b=\sqrt{3}+\sqrt{6}\)、\(c=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)のとき
\(a^3+b^3+c^3-a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-c^2a-ca^2+2abc\)の値を求めよ。

灘高校

ここからは解答(と一部解説)を出題の順番に並べています。

問われている変形や発想は何だったのか?

といったことに意識して振り返っていただきたいと思います。

文字が2種類の因数分解~高校入試の標準から難問


\begin{align}
&  a^2-4a-4b^2+4 \\
&=a^2-4a+4-4b^2 \\
&=(a-2)^2-4b^2 \\
&=\{(a-2)+2b\}\{(a-2)-2b\} \\
&=(a-2+2b)(a-2-2b) \\
&=(a+2b-2)(a-2b-2) \\
\end{align}

市川高等学校

\begin{align}
&  x^2-y^2+2y-1 \\
&=x^2-(y^2-2y+1) \\
&=x^2-(y-1)^2 \\
&=\{x+(y-1)\}\{x-(y-1)\} \\
&= (x+y-1)(x-y+1) \\
\end{align}

青雲高等学校

x+2y=Xとする.

\begin{align}
&  x^2+4xy+4y^2-2x-4y-3 \\
&=(x+2y)^2-2(x+2y)-3 \\
&=X^2-2X-3 \\
&=(X-3)(X+1) \\
&=(x+2y-3)(x+2y+1) \\
\end{align}

愛光高等学校


\begin{align}
&  x^3y+x^2y-xy^3-xy^2 \\
&=xy(x^2-y^2)+xy(x-y) \\
&=xy(x+y)(x-y)+xy(x-y) \\
&=xy(x-y)\{(x+y)+1\} \\
&=xy(x-y)(x+y+1)
\end{align}

豊島岡女子学園高校

\begin{align}
&  (2x+1)(2x-1)-3(x-2)^2 \\
&=4x^2-1-3(x^2-4x+4) \\
&=4x^2-1-3x^2+12x-12 \\
&=x^2+12x-13 \\
&=x^2+12x+36-36-13 \\
&=(x+6) ^2-36-13\\
&=(x+6) ^2-49\\
&=(x+6) ^2-7^2\\
&=(x+6+7)(x+6-7) \\
&=(x+13)(x-1) \\
\end{align}

桐朋高等学校

4x-3y=Xとする.

\begin{align}
&  16x^2-24xy+9y^2-16x+12y-12 \\
&=(4x-3y)-4(4x-3y)-12 \\
&=X-4X-12 \\
&=(X-6)(X+2) \\
&=(4x-3y-6)(4x-3y+2) \\
\end{align}

明治大学付属中野高等学校


\begin{align}
&  x^2-xy+2x-3(y+1) \\
&=x^2-xy+2x-3y-3 \\
&=x^2+2x-3+(-xy-3y) \\
&=(x-1)(x+3)-y(x+3) \\
&=(x+3)(x-y-1) \\
\end{align}

ラ・サール高等学校


\begin{align}
&  (x^2+4xy)^2-8(x^2+4xy)y^2-48y^4 \\
&x^2+4xy=X, y^2=Yとする \\
&=X^2-8XY-48Y^2 \\
&=(X-12Y)(X+4Y) \\
&=(x^2+4xy-12y^2)(x^2+4xy+4y^2) \\
&=(x+6y)(x-2y)(x+2y)^2 \\
\end{align}

立命館高等学校

\begin{align}
&  (a+b)^2-(ab+1)^2-2ab+1 \\
&=a^2+2ab+b^2-a^2b^2-2ab-1-2ab+1 \\
&=a^2-2ab+b^2-a^2b^2 \\
&=(a-b)^2-(ab)^2 \\
&=(a-b+ab)(a-b-ab) \\
\end{align}

\begin{align}
&x-2y=-\sqrt{3}、x+y=2\sqrt{3}-3のとき \\
&x^2-xy-2y^2+3x-6yの値を求めよ。 \\
&  x^2-xy-2y^2+3x-6y \\
&=(x-2y)(x+y)+3(x-2y) \\
&=(x-2y)(x+y+3) \\
&=-\sqrt{3}(2\sqrt{3}-3+3) \\
&=-6 \\
\end{align}

東大寺学園高等学校

文字が3種類の因数分解難問~高校入試


\begin{align}
&  (a-3b)x^2+(3b-a)(x+2)\\
&=(a-3b)x^2-(a-3b)(x+2) \\
&=(a-3b)\{x^2-(x+2)\} \\
&=(a-3b)(x^2-x-2) \\
&=(a-3b)(x-2)(x+1) \\
\end{align}

立命館高等学校

\begin{align}
&  (a+2c)(a-2c)-b(b-4c) \\
&=a^2-(2c)^2-b^2+4bc \\
&=a^2-(b^2-4bc+4c^2) \\
&=a^2-(b-2c)^2 \\
&=\{a+(b-2c)\}\{a-(b-2c)\} \\
&=(a+b-2c)(a-b+2c) \\
\end{align}

ラ・サール高等学校

\begin{align}
&  (2a+b)(2b-b)+6bc-9c^2 \\
&=4a^2-b^2+6cb-9c^2 \\
&=4a^2-(b^2-6bc+9c^2) \\
&=(2a)^2-(b-3c)^2 \\
&=\{2a+(b-3c)\}\{2a-(b-3c) \}\\
&=(2a+b-3c)(2a-b+3c) \\
\end{align}

福岡大学付属大濠高等学校

a-b=Xとする.

\begin{align}
&  ca-cb-a^2+2ab-b^2 \\
&=c(a-b)-(a^2-2ab+b^2) \\
&=c(a-b)-(a-b)^2 \\
&=c(X)-(X)^2 \\
&=X(c-X) \\
&=(a-b)\{c-(a-b)\} \\
&=(a-b)(c-a+b)
\end{align}

成蹊高等学校

\begin{align}
&  a^4-a^2c-b^4+b^2c \\
&=a^4-b^4-a^2c+b^2c \\
&=(a^2+b^2)(a^2-b^2)-c(a^2-b^2) \\
&=(a^2-b^2)(a^2+b^2-c) \\
&=(a+b)(a-b)(a^2+b^2-c) \\
\end{align}

早稲田大学系属早稲田実業学校高等部

\begin{align}
&  a^2-b^2-c^2+4a-2bc+4 \\
&=a^2+4a+4-(b^2+2bc+c^2) \\
&=(a^2+4a+4)-(b+c)^2 \\
&=(a+2+b+c)\{a+2-(b+c)\} \\
&=(a+2+b+c)(a+2-b-c) \\
&=(a+b+c+2)(a-b-c+2) \\
\end{align}

早稲田大学系属早稲田実業学校高等部


\begin{align}
&  -a^2+4b-4c^2-4ca+8b+4 \\
&=4(b^2+2b+1) -(a^2+4ca+4c^2)\\
&=\{2^2(b+1)^2\}-(a+2c)^2 \\
&=\{2(b+1)\}^2-(a+2c)^2 \\
&=\{2(b+1)+a+2c\}\{2(b+1)-(a+2c) \}\\
&=(a+2b+2c+2)(-a+2b-2c+2) \\
\end{align}

東大寺学園高等学校


\begin{align}
&  x^2+(2a-3b-6)x-6ab+18b \\
&=x^2+(2a-3b-6)x-3b(2a-6) \\
&-3bと(2a-6)は、たして(2a-3b-6)\\
&かけて-3b(2a-6)になるので\\
&=(x-3b)(x+2a-6) \\
\end{align}

開成高等学校


\(a^3+b^3-a^2b-ab^2-bc^2-c^2a\)を因数分解せよ。

\begin{align}
&  a^3+b^3-a^2b-ab^2-bc^2-c^2a \\
&=a^2(a-b)+b^2(b-a)-c^2(a+b) \\
&=a^2(a-b)-b^2(a-b)-c^2(a+b) \\
&=(a^2-b^2)(a-b)-c^2(a+b) \\
&=(a+b)(a-b)(a-b)-c^2(a+b) \\
&=(a+b)(a-b)^2-c^2(a+b) \\
&=(a+b)\{(a-b)^2-c^2\} \\
&=(a+b)\{(a-b)+c\}\{(a-b)-c\} \\
&=(a+b)(a-b+c)(a-b-c) \\
\end{align}

また、\(a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)、\(b=\sqrt{3}+\sqrt{6}\)、\(c=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)のとき

\(a^3+b^3+c^3-a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-c^2a-ca^2+2abc\)の値を求めよ。

これは先程の結果を利用できないかと考えます。赤色の部分がちょうど先程の式と同じになっていますね。なので、それ以外を右側に取り出して並べてみます。

\begin{align}
&  \color{red}{a^3+b^3}+c^3\color{red}{-a^2b-ab^2}-b^2c\color{red}{-bc^2-c^2a}-ca^2+2abc \\
&=\color{red}{a^3+b^3-a^2b-ab^2-bc^2-c^2a}+c^3-b^2c-ca^2+2abc \\
&=\color{red}{(a+b)(a-b+c)(a-b-c)}+c^3-b^2c-ca^2+2abc \\
&=\color{red}{(a+b)(a-b+c)(a-b-c)}-c(-c^2+b^2+a^2-2ab) \\
&=\color{red}{(a+b)(a-b+c)(a-b-c)}-c\{(+a^2-2ab+b^2)-c^2\} \\
&=\color{red}{(a+b)(a-b+c)(a-b-c)}-c\{(a-b)^2-c^2\} \\
&=(a+b)(a-b+c)(a-b-c)-c(a-b+c)(a-b-c)\\
&=(a-b+c)(a-b-c)(a+b-c) \\
&=2\sqrt{2}×(-2\sqrt{6})×(2\sqrt{3}) \\
&=-48\\
\end{align}

灘高等学校

いかがでしたでしょうか?

基本的にバリエーションは限られているので、

『これらの問題を解くときに、思考過程や置き換えはできないか?などの発想をメモしておいて、次を解くときに試す』

といった感じで実力向上につながります。

思考力は試行力、だと思って、試すことができるバリエーションと『これはこのパターンかな?』とかぎ取る嗅覚を身につけてもらえればと思います。

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