n進数の掛け算と筆算の方法~5進法の積の練習問題★n進法の四則演算

n進数の掛け算

今回は、n進数の掛け算(積)の筆算の手順と、筆算を使わない方法2種類を解説します。

問題:5進法で表された2つの数\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の積を5進法で表せ。
題材:札幌医科大学(2017年)記数法、基礎レベル
難易度★★☆☆☆☆☆☆☆☆

まずは筆算を使った掛け算を紹介します。

n進数の掛け算~筆算を使った方法~

このように筆算の形に書き並べます。※掛け算のマークを書きこむと数字の並びがずれてしまうので、このページでは省略しています。

  12
   2
________

手順としては、掛け算の筆算と同じ方法で計算していきます。

まずは赤い部分を計算しますね。

3×4は12ですが、これを5進法で表現します。

12は×5+なので、22ですね。

なので、最初の3×4をした段階で、このようになります。

  123
   24
________
   22

次に、2×4の掛け算をします。8となりますが、これは5進法で表すと13ですね。

※8は×5+なので。

その結果このようになります。

  123
   24
________
  152

ここで注意!

5進法での表記は、5以上になると繰り上がらなければいけません。

なので、このように書き直します。

  123
   24
________
  202

次に1×4の掛け算をします。4となります。5進法でも4のままですね。

その結果、このようになります。

  123
   24
________
  602

…が5進法での表記は、5以上になると繰り上がらなければいけません。

なので、ここでもさらに、このように書き直します。

  123
   24
________
 1102

次に赤色の部分を掛け算します。

  12
   
________
 1102

3×2ですね。

これは6となり、5進法で表すと11となります。

※6は×5+なので。

結果、こうなります。

  123
   24
________
 1102
  11

次に2×2の掛け算をします。

4ですね。5進法でも表記は4です。

結果、このようになります。

  123
   24
________
 1102
  51

ここでどうするかはもうお分かりですね。

繰り上げる必要がありますので、こうなります。

  123
   24
________
 1102
 101

最後に1×2をしてその結果の2を加えます。

  123
   24
________
 1102
 301
________

このようになりました。

あとはこれを足し算して終わりです。

その際、繰り上がりに注意してください。

  123
   24
________
 1102
 301
________
 4112

この4112が5進法で表記された掛け算の結果です。

この方法は、2進数でも3進数でも通用するn進数の掛け算の一般的な方法になります。

続いて2つめの方法でn進法の掛け算を練習しましょう。

n進数の掛け算~筆算を使わない方法~

2つ目の方法は、文字式を利用した解法です。

問題:5進法で表された2つの数\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の積を5進法で表せ。

x=5と置いて、

まずは、\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の表現を変えます。

\(123_{(5)}=5^2+2 \cdot 5+3=x^2+2x+3\)

\(24_{(5)}=2 \cdot 5+4=2x+4\)

この表記で積を求めてゆきます。

\(123_{(5)}×24_{(5)}=(x^2+2x+3)(2x+4)\)

\(=2x^3+8x^2+14x+12\)

ここでもしも、各項の係数が4以下になっていれば、そのまま5進法の表記として解答することができます。

どういうことかと言うと、例えばここでもしも

\(2x^3+4x^2+3x+1\)

となっていれば

\(2 \cdot 5^3+4 \cdot 5^2+3 \cdot 5+1\)

ということなので、これは

2431

という5進法による解答ができる、ということですね。

なので、先程の

\(2x^3+8x^2+14x+12\)

も、そのような表現に持ち込むことを考えます。

\(=2x^3+(5+3)x^2+(2 \cdot 5+4)x+(2 \cdot 5+2)\)

\(=2x^3+(x+3)x^2+(2x+4)x+(2x+2)\)

これらを、展開、整理します。

\(=3x^3+5x^2+6x+2\)

ここでさらに、5進法による表記を可能にするために

各項の係数を4以下にします。

\(3x^3+5x^2+6x+2\)

\(=3x^3+5 \cdot x^2+(5+1)x+2\)

\(=3x^3+x \cdot x^2+(x+1)x+2\)

再びこれを整理すると、このようになります。

\(=4x^3+x^2+x+2\)

すべての項の係数が4以下になりました。

これで求める積の値を、5進法で表記することができますね。

\(4x^3+x^2+x+2\)

\(=4 \cdot 5^3+5^2+x+2\)

なので

求める積の値は

\(4112_{(5)}\)

ということですね。

以上、今回は、n進数の掛け算の方法について解説しました☆

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