反復試行&さいころの確率の良問~数学Aの定期テスト(標準レベル)対策に!日本大学N方式1期

反復試行,さいころの確率,基本

今回は、数学Aの単元である、反復試行や確率の基本性質について、定期テスト(標準レベル)の入試問題で練習してみましょう。

また、この練習問題では、場合の数を考える時に、選び方と並び方を分けて考えることで、スッキリと解けるということも体感してもらいたい例題です。

それでは日大の良問(入試問題数学)を通して、今回のテーマを理解していきましょう。

確率の基本性質と反復試行の練習問題~さいころの確率

1個のサイコロを4回投げて出た目を調べる

(1)奇数の目、偶数の目がともに2回づつ出る確率を求めよ。

(2)4回とも異なる目が出る確率を求めよ。

(3)例えば、1,1,2,4 のように、奇数の目、偶数の目がともに2回ずつ出て、かつ少なくとも2つの目が同じとなる確率を求めよ。

題材:日本大学(2014年)N方式1期
難易度★★☆☆☆☆☆☆☆☆

(1)奇数の目、偶数の目がともに2回づつ出る確率を求めよ。

反復試行の確率の問題です。

奇数の目が出る確率は\(\frac{1}{2}\)ですね。

4回投げたうち、2回だけ奇数の目が出る確率は

\(_{4}C_{2}(-\frac{1}{2})^2(1-\frac{1}{2})^2=\frac{3}{8}\)

となります。

\(_{4}C_{2}\)の部分は

偶数、奇数の出てくる順番のパターンの数になります。

遇数→偶数→奇数→奇数

遇数→奇数→偶数→奇数

遇数→奇数→奇数→偶数

の3通りと、この3通りに対し、偶数と奇数を入れ替えたさらに3通りの

奇数→奇数→遇数→偶数

奇数→遇数→奇数→偶数

奇数→偶数→遇数→奇数

の、合計6通りがそれにあたります。

つまり

【A】→【B】→【C】→【D】

という4つの箱のどれか2つの組み合わせを選んで、それを奇数とする(あるいは偶数とする)

というような場合の数が、そのまま

\(_{4}C_{2}\)で表現できますよね。

※4つの箱ABCDから二つを選ぶ組み合わせの数ということです。

つづいて2問目に進みます。

(2)4回とも異なる目が出る確率を求めよ。

確率の分母にあたる出る目のパターンは

6の4乗ですね。

4回とも異なる目が出るとすると

最初の出る目は6通り

2回目に出る目は、1回目に出た目以外の目が出ないといけないので5通り

3回目に出る目は、1回目、2回目に出た目、以外の目が出ないといけないので4通り

4回目に出る目は、1回から3回目に出た目以外でないといけないので、3通り

結局、この問題における条件を満たす場合の数は

6×5×4×3ですね。

つまりこれは、異なる6人の中から4人を選んで一列の並ばせる順列の総数

\(_{6}P_{4}\)と同じだということです。※考え方も同じです。

結局この問題で問われている確率は

\(\frac{_{6}P_{4}}{6^4}=\frac{6×5×4×3}{6×6×6×6}=\frac{5}{18}\)

が正解です。

(3)例えば、1,1,2,4 のように、奇数の目、偶数の目がともに2回ずつ出て、かつ少なくとも2つの目が同じとなる確率を求めよ。

奇数だけ同じ数字が出るパターン

(奇数a、奇数a、偶数b、偶数c)

偶数だけ同じ数字が出るパターン

(奇数a、奇数b、偶数c、偶数c)

奇数も偶数も同じ数字が出るパターン

(奇数a、奇数a、偶数b、偶数b)

の3パターンがあります。

それぞれ見ていきましょう。

奇数だけ同じ数字が出るパターン

(奇数a、奇数a、偶数b、偶数c)

【目の選び方】

奇数は出る目が1の目、3の目、5の目と3通りあるので、この場合、奇数aの目は3通りの選び方がありますね。

次に、異なる2つの偶数の選び方ですが、

偶数も2、4、6の3つの目があり、この3つの目のなかから2つの目の組み合わせを選ぶので

\(_{3}C_{2}\)

つまり、3通りとなります。

奇数の目の選び方が3通り

偶数の目の選び方が3通りということで

この場合のさいころの目の選び方は3×3の9通り、ということになります。

【選んだ目の並べ方】

次に、選んだこれらの目の並べ方を考えます。

(奇数a、奇数a、偶数b、偶数c)というように3種類の数字が選び出されています。

これらは出た目の順番に並ばせていると考えて求めてみます。

わかりやすいように

aabcと表記を変えて眺めてみましょう。

これらの並びのパターンを計算すればいいということですね。

この二つのaがもしも違う目だったとしたら

それらを一列に並ばせる総数は

4!通りとなります。

けれどもそれでは本来数えたい場合の2倍数えていることになるので

2で割ると本来の値を求めることができます。

ややこしく書きましたが、結局はこういうことです。

aabcを一列に並べると

\(\frac{4!}{2}=\frac{4×3×2×1}{2}=12\)

ということです。

つまりこの場合の選んだ目を並ばせるパターンは全部で12通りあるということになります。

さいごに

【目の選び方】×【選んだ目の並べ方】が、求める場合の数なので

9通り×12通りで108通りということになります。

偶数だけ同じ数字が出るパターン

これは、先程の『偶数だけ同じ数字が出るパターン』と同じ要領で求めますので

同じ108通りが導き出されることになります。

奇数も偶数も同じ数字が出るパターン

(奇数a、奇数a、偶数b、偶数b)というように

偶数も奇数もそれぞれ1種類しか選ばれません。

なので目の選び方は3通り×3通りで9通りですね。

次に選んだ目の並ばせ方ですが

これは先程の考え方と同様

aabbを一列に並ばせる総数と同じ数になります。

これを求めると

\(\frac{4!}{2!2!}=\frac{4×3×2×1}{2×1×2×1}=6\)

となります。

【目の選び方】×【選んだ目の並べ方】が、求める場合の数なので

9通り×6通りで56通りということになります。

最後に確率を求めよう

これまでの場合の数を合計すると

108通り+108通り+56通りとなりますね。

よって求める確率は

\(\frac{\color{red}{108通り+108通り+56通り}}{6^4}=\frac{5}{24}\)

となります。

いかがでしたでしょうか?

今回の問題のように、選び方と並び方を分けて考えると、整理された考え方の助けにもなりますので、習得していただければと思います。

以上、さいころの確率を扱った、反復試行の要素の問題と、定期テストレベルの良問を解説しました★

また次回お会いしましょう★

サブコンテンツ
Sponsored Link