裏技!簡単に二次関数の頂点の座標を求める3つの方法と小技テクニック

頂点の座標を求める裏技

今回は、二次関数の頂点の座標を求める方法(裏技というか小技テクニック)をご紹介します。

前回は、あたえられた二次方程式を平方完成することによって、頂点の座標をもとめる練習をしました。

平方完成の方法とコツについて練習問題プリント付きで解説

今回は、平方完成をしないで、二次関数の頂点の座標を求める方法を解説していきます。

二次関数,頂点の座標10

やり方は二つあって、ご覧のように、すでに頂点のx座標を文字で表現したものを当てはめるという方法と、因数分解によって求める方法とがあります。

つまり、全部で3通りの方法があるわけですね☆

それでは解説していきます。

授業動画はこちらです

まず一つ目の方法ですが、

頂点のx座標である

\(-\frac{b}{2a}\)

を使います。

ちなみに頂点のy座標を表現している

ややこしいかたまりは使いません。

また、

\(-\frac{b}{2a}\)

と覚えてもいいですし、解の公式を暗記したときの最初に登場していた

(にーえーぶんのまいなすびー)の部分
\(\frac{-b}{2a}\)

を使っても値は同じになります。

これだと新たに暗記する労力はほぼ必要ないですよね。

使い方ですが、③の問題が理解しやすいので、これでちょっと具体的に見ていきましょう。

二次関数,頂点の座標11

③の問題は

右辺にある式の各定数を比べると

a=2

b=-12

となります。

cにあたるのは5なのですが、これは使いません。

\(\frac{-b}{2a}\)

にそれぞれ値を代入して計算すると

という値になりました。

これがすなわちこの二次関数の頂点のx座標ということになります。

あとはその時のy座標を求めればOKですね。

二次関数,頂点の座標12

頂点のx座標が3だとわかっているわけですから、「この二次関数のxが3のときのyの値を求めればいい」ということなので、この二次関数のxに3を代入します。

するとy以外のすべての項が数字になってくれて、yの値が求められる、ということになります。

計算の結果、yの値が-13

ということになりましたので

頂点のx座標が3のとき、その時のy座標は-3ということで、頂点の座標が明らかになりました。

この方法を使って、①から⑥までのすべての二次関数の頂点を求めるとこのようになります。

二次関数,頂点の座標13

表の左から右側にむかって順に求めていくことになります。

平方完成の手順を必要としない場合は、この方法で求めてもいいでしょう。

次は因数分解を利用した方法を紹介します。

二次関数,頂点の座標14

①の問題で説明します。

この二次関数の左辺であるyに0を代入します。

それによって出来上がった二次方程式は

この関数のyが0の時、xの値は何か?

を求める方程式ができあがったことになります。

つまり、①の二次関数をグラフにしたときに、グラフとx軸とが交わるポイントのx座標を求める方程式ができた、ということになります。

この二次方程式の右辺は因数分解することができます。

x(x-6)になりましたね。

xがゼロのときも、x-6が0のときも、この方程式は成り立つわけですから、そのときのxを求めると、

xは0または6

ということになります。

それをグラフに書き込むと、ご覧のようになります。

グラフとx軸との交点のx座標が0と6なのですから、そのちょうど間に頂点のx座標があるということはわかるかと思います。

もっと正確に言うなら、頂点のx座標の値は0と6の平均の値そのものである、と言うことができます。

なので0と6を足して2で割った値が、頂点のx座標になります。

計算すると3だということがわかったので、後は先程のやり方と同様、二次関数のxに3を代入します。

これは、xが3の時のyの値を求める手順になりますので、これを計算して、結局y=-9だということがわかりました。

この方法で、頂点のx座標とy座標を求める、という手もあります。

次の②の問題も同様に解いてみましょう。

二次関数,頂点の座標15

まずyに0を代入します。

出来上がった二次方程式はこの関数のグラフがx軸と交わるポイントのx座標を求めるものになっています。

右辺は因数分解できますね。

たして5

かけて-6になる

二組の数字は

-1と-5なので

それを因数分解された形にほうりこみます。

x-1がゼロになるときも、x-5がゼロになるときも

ともに方程式が成り立ちますので、

その時のxをそれぞれ求めて、

x=1または5

ということになります。

この1と5の平均の値が、この二次関数のグラフの頂点のx座標の値になりますので

たして2で割ります。

3になりましたね。

あとは頂点のx座標である3を、もとの二次関数のxに代入すると、xが3のときのyの値が出てきてくれるというワケです。

どうでしょうか?

ちょっと慣れてきたかと思います。

二次関数,頂点の座標16

最後に⑦を新たに登場させて終わりにしたいと思います。

というのも、③から⑥の問題は因数分解をすることが困難なので、この方法は適さないからです。

⑦の問題は、ご覧のように、たすきがけによる因数分解によってグラフとx軸との交点を求めることができます。

ただ、ここまで因数分解がややこしくなると、最初に紹介した

\(\frac{-b}{2a}\)

に代入して求めるほうがてっとり早いですね。

問題によっては、最初からグラフとx軸との交点が判明している時もあります。

その場合は、この発想で頂点を求めさせることも考えられますので、どちらにせよ知っておいてほしい考え方です。

以上、今回は平方完成を使わないで二次関数の頂点の座標を求める裏技(小技テクニック)を解説しました。

また、こちらも内容の近いものですので、二次関数の教科書レベルの基本をマスターしたい方はご覧いただいて理解を深めてください☆

平方完成をして頂点の座標を求める方法

二次関数と二次不等式の違いって?

ご覧いただいて、どうもありがとうございました☆

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