不等式の解き方～基本問題をていねいに解説

こんにちは、坂田です☆

今回は、一次不等式の解き方の手順を解説します。

一次不等式とか、二次不等式とか、なんのこっちゃと思っている方もいるかもしれませんね。

二次、というのは２乗まで登場する、ということです。

なので、今回は、２乗とかは登場しない、普通の不等式だと思ってください。

まずは、ご覧いただいているこの不等式から説明していきます。

ちなみに等式というのは＝で両辺が結ばれた方程式のことを言います。

等式の等は、『等しい』つまり同じという意味ですね。

１＋４＝２＋３

は左辺も右辺も同じ値になりますよね。

今回はそれに否定の意味である『不』が付いた『不等式』を解説します。

つまり、左辺と右辺は同じではないよ、という式なんだな、ととりあえず思ってもらえるとわかりやすいです。

それでは説明していきます。

まず、この真ん中に書かれている不等式は

えっくす大なり２

と読みます。

ｘのほうに大きく口が開いていますね。

なので、

ｘと２とを比べたらｘのほうが大きいよ

と言っているのだと思ってください。

２よりも大きい数字と言えば

例えば、

2.1とか

3とか

3.5とか

3.9とか

10とか

まあ

いろいろありますよね。

それを

数直線上に表したのが

赤いゾーンになります。

２よりも大きい数字のところがすべて赤色になっていますね。

ただ、ちょうど２のところをギリギリ塗ることはできません。

なぜならｘは２よりも大きい数字、ということなので

２は含むことはできないからです。

なので、２のところの〇は塗りつぶしていませんね。

また、このｘの範囲について難しい言い方をすると

『ｘは２よりも大きいすべての実数』

という言い方ができます。

たしかにｘは２よりも大きいすべての数字ですね。

実数というのは、３とか４などといったキリのいい整数と、2.9とか、8.6といった小数をあわせた数字のことです。

要は、塗ってるところ全部の数字と、想像してください。

ちょっと分かってきたでしょうか？

次はこの不等式に＝のマークが加わったものを紹介します。

こちらですね。

≧←これは

先程の記号『大なり』にイコールが付いたもので

『大なりイコール』

と読みます。

先程は『ｘは２よりも大きいすべての実数』

だったのですが、これは

『ｘは２以上のすべての実数』

となります。

『２以上』は２を含みますので、数直線上の２のところはちゃんと塗りつぶしています。

このような違いがあるわけですね。

また、符号がひっくり返るとこのようになります。

≦←この符号は

小なりイコールと読みます。

『ｘは２以下のすべての実数』

となります。

これに＝がない場合はコレですね。

＜←この不等号は

小なりと読みます。

『ｘは２よりも小さいすべての実数』

となって、この場合は２を含みません。

ちょっとこの式を使って、一次不等式の解き方（解くときの考え方）について、説明していこうと思います。

この不等式は

ｘと２を比べた時に、２の方が大きい値である。

という大小関係を表現しています。

もしもこの値が重さであるとするなら、このように、右側の天秤が下がるという状態になりますね。

そして、この天秤の両方をそれぞれ２倍の重さにしたとしましょう。

ｘは２ｘに

２は４という具合に

それぞれ２倍にするとどうでしょうか。

天秤は相変わらず右側に傾いている状態ですよね？

軽いほうを２倍したものと

重いものを２倍にしたものを天秤にかけたら

重いものを２倍にしたもののほうが重いはずですよね。

２ｘと４の比較した結果を不等式で表すと

２ｘ＜４

ということになります。

ここまでは大丈夫でしょうか？

次にもしも、この

２ｘ＜４

が出題されて

この一次不等式を解け

という指示があったらどうでしょう？

この場合

今、説明したことを逆に考えていけばいいことになります。

左上の囲みの説明を見てください。

２ｘも４も

それぞれ半分づつにしたって

相変わらず

右側が大きな数字であることに変わりはないですよね。

なのでそれぞれを半分にすると、つまり\(×\frac{１}{２}\)すると

ｘ＜２

になります。

こうやって解答にたどりつくわけです。

不等式の解き方と考え方は、基本的にこのようになります。

では、もうちょっと複雑な形の不等式について

解く手順を見てみましょう。

一次不等式の解き方を天秤図で解説

これですね。

４ｘ＋１＞ｘ＋３

を解く問題です。

不等式を解いていく様子を天秤の図で説明したものも、右側に書いてあります。

最初の①の式から

②の式になるまでの操作ですが

不等式の右辺にあるｘを消すことを考えて操作しています。

なので、天秤の両方からそれぞれｘを１個ずつ取り除くという操作が書いてあるわけですね。

これで右辺にｘがなくなりました。

不等式②の状態ですね。

次に左辺の３ｘ＋１の＋１が邪魔だなということで両辺にそれぞれ－１をします。

これで不等式③ができました。

このように、基本的には

不等式の左辺にｘだけの項

不等式の右辺には数字だけの項

にする、ということを考えて解いていくといいと思います。

次に

③の不等式

３ｘ＞２

ですが

この状態から最後の④にするには

右辺と左辺をそれぞれ３分の１にするといいですね。

両辺にそれぞれ×３分の１をすると

最後の④が導けて、不等式を解いたということになります。

この問題の解き方は以上になりますが、どうでしょうか？

次は不等式を解く場合に注意しなければいけないポイントについて説明します。

ごちゃごちゃ書いていますが

まず左上の

２＜３

を見てください。

２と３を比べると３のほうが大きい

という大小関係を表現している不等式です。

右側の数直線上でも２と３が書かれています。

２よりも右側にある３のほうが大きい、ということが視覚的にわかりますよね。

さて、この２と３をそれぞれ２倍したとしましょう。

４と６になります。

数直線上で確認すると、その大小関係は

４よりも６のほうが右側にありますので、６のほうが大きいということがわかります。

不等式では

４＜６

となります。

さっきの

２＜３

の不等号の向きと変わっていませんよね。

ところが、この

２＜３

の両辺に－２をかけるとどうでしょうか。

２は、－４に

３は、－６になりますよね。

これを数直線上で確認してみると

－６のよりも、－４のほうが右側にあるので、

－４のほうが大きい、ということがわかります。

数直線上では、右側にあるものほど大きい、ということですからね。

この大小関係を不等号で表現すると

－４＞－６

というように

不等号の向きが

＜

から

＞

に変わっているのがわかりますね。

つまり、両辺にプラスをかけた場合は

不等号の向きはそのままだったのが

マイナスをかけた場合は

不等号の向きが逆になる

ということに気を付けないといけないワケです。

最初は慣れない方もいると思いますが

ちょっとこのあたり、問題を解きながら確認していきましょう。

二問あります。

①の問題は最初

両辺をマイナス１倍します。

不等号が逆向きになりますので

＜を

＞に変えて完了です。

②の問題はもうちょっと複雑な問題です。

最初の操作で

両辺を－１しています。

これは掛け算ではないので不等号の向きは変化しません。

天秤の両方に同じ量を

足したり引いたりしても

天秤の傾き具合は変わらなかったですよね？

つぎに

両辺にそれぞれ（マイナス２分の１）をかけています。

不等式の両辺にマイナスをかけているので

不等号の向きは逆向きになります。

≧が

≦になります。

このようにして解いていくわけです。

ちょっとわかってきたでしょうか？

つまり、不等式を解くときのポイントは、まとめるとこのようになります。

不等式を解くときに注意しなければいけないのは

不等号の向きが変わるときです。

それは、マイナスの値を

掛けたり、割ったりした場合だけに起こります。

それ以外は、方程式を解くときの要領でOKです。

マイナスの値を足したり引いたりしても

不等号の向きは変わりません。

このあたりは、習いより慣れろで、

教科書に載っている基本問題などの練習問題を、実際に手を動かして解いて、慣れるようにしてください。

以上、今回は一次不等式の解き方と考え方について解説しました。

不等式は、高校１年生の数学の教科書に掲載されている基本的な内容で、私立高校入試でもこの考え方は必要になります。

慣れるまで、最初はスピードよりも、丁寧に解くことを重視してくださいね。

ありがとうございました☆