反復試行＆さいころの確率の練習問題☆定期テスト(標準レベル)

今回は、数学Ａの単元である、反復試行や確率の基本性質について、定期テスト（標準レベル）の入試問題で練習してみましょう。

また、この練習問題では、場合の数を考える時に、選び方と並び方を分けて考えることで、スッキリと解けるということも体感してもらいたい例題です。

それでは日大の良問（入試問題数学）を通して、今回のテーマを理解していきましょう。

確率の基本性質と反復試行の練習問題～さいころの確率
１個のサイコロを４回投げて出た目を調べる (1)奇数の目、偶数の目がともに２回づつ出る確率を求めよ。 (2)４回とも異なる目が出る確率を求めよ。 (3)例えば、1,1,2,4 のように、奇数の目、偶数の目がともに２回ずつ出て、かつ少なくとも２つの目が同じとなる確率を求めよ。
題材：日本大学(2014年)Ｎ方式1期	難易度：★★☆☆☆☆☆☆☆☆

(1)奇数の目、偶数の目がともに２回づつ出る確率を求めよ。

反復試行の確率の問題です。

奇数の目が出る確率は\(\frac{1}{2}\)ですね。

４回投げたうち、２回だけ奇数の目が出る確率は

\(_{4}C_{2}(－\frac{1}{2})^2(1－\frac{1}{2})^2＝\frac{3}{8}\)

となります。

\(_{4}C_{2}\)の部分は

偶数、奇数の出てくる順番のパターンの数になります。

遇数→偶数→奇数→奇数

遇数→奇数→偶数→奇数

遇数→奇数→奇数→偶数

の３通りと、この３通りに対し、偶数と奇数を入れ替えたさらに３通りの

奇数→奇数→遇数→偶数

奇数→遇数→奇数→偶数

奇数→偶数→遇数→奇数

の、合計６通りがそれにあたります。

つまり

【Ａ】→【Ｂ】→【Ｃ】→【Ｄ】

という４つの箱のどれか２つの組み合わせを選んで、それを奇数とする（あるいは偶数とする）

というような場合の数が、そのまま

\(_{4}C_{2}\)で表現できますよね。

※４つの箱ＡＢＣＤから二つを選ぶ組み合わせの数ということです。

つづいて2問目に進みます。

(2)４回とも異なる目が出る確率を求めよ。

確率の分母にあたる出る目のパターンは

６の４乗ですね。

４回とも異なる目が出るとすると

最初の出る目は６通り

２回目に出る目は、１回目に出た目以外の目が出ないといけないので５通り

３回目に出る目は、１回目、２回目に出た目、以外の目が出ないといけないので４通り

４回目に出る目は、１回から３回目に出た目以外でないといけないので、３通り

結局、この問題における条件を満たす場合の数は

６×５×４×３ですね。

つまりこれは、異なる６人の中から４人を選んで一列の並ばせる順列の総数

\(_{6}P_{4}\)と同じだということです。※考え方も同じです。

結局この問題で問われている確率は

\(\frac{_{6}P_{4}}{6^4}＝\frac{6×5×4×3}{6×6×6×6}＝\frac{5}{18}\)

が正解です。

(3)例えば、1,1,2,4 のように、奇数の目、偶数の目がともに２回ずつ出て、かつ少なくとも２つの目が同じとなる確率を求めよ。

奇数だけ同じ数字が出るパターン

（奇数a、奇数a、偶数b、偶数c）

偶数だけ同じ数字が出るパターン

（奇数a、奇数b、偶数c、偶数c）

奇数も偶数も同じ数字が出るパターン

（奇数a、奇数a、偶数b、偶数b）

の３パターンがあります。

それぞれ見ていきましょう。

奇数だけ同じ数字が出るパターン

（奇数a、奇数a、偶数b、偶数c）

【目の選び方】

奇数は出る目が１の目、３の目、５の目と３通りあるので、この場合、奇数aの目は３通りの選び方がありますね。

次に、異なる２つの偶数の選び方ですが、

偶数も２、４、６の３つの目があり、この３つの目のなかから２つの目の組み合わせを選ぶので

\(_{3}C_{2}\)

つまり、３通りとなります。

奇数の目の選び方が３通り

偶数の目の選び方が３通りということで

この場合のさいころの目の選び方は３×３の９通り、ということになります。

【選んだ目の並べ方】

次に、選んだこれらの目の並べ方を考えます。

（奇数a、奇数a、偶数b、偶数c）というように３種類の数字が選び出されています。

これらは出た目の順番に並ばせていると考えて求めてみます。

わかりやすいように

aabcと表記を変えて眺めてみましょう。

これらの並びのパターンを計算すればいいということですね。

この二つのaがもしも違う目だったとしたら

それらを一列に並ばせる総数は

4!通りとなります。

けれどもそれでは本来数えたい場合の２倍数えていることになるので

２で割ると本来の値を求めることができます。

ややこしく書きましたが、結局はこういうことです。

aabcを一列に並べると

\(\frac{4!}{2}＝\frac{4×3×2×1}{2}＝12\)

ということです。

つまりこの場合の選んだ目を並ばせるパターンは全部で１２通りあるということになります。

さいごに

【目の選び方】×【選んだ目の並べ方】が、求める場合の数なので

９通り×１２通りで１０８通りということになります。

偶数だけ同じ数字が出るパターン

これは、先程の『偶数だけ同じ数字が出るパターン』と同じ要領で求めますので

同じ１０８通りが導き出されることになります。

奇数も偶数も同じ数字が出るパターン

（奇数a、奇数a、偶数b、偶数b）というように

偶数も奇数もそれぞれ１種類しか選ばれません。

なので目の選び方は３通り×３通りで９通りですね。

次に選んだ目の並ばせ方ですが

これは先程の考え方と同様

aabbを一列に並ばせる総数と同じ数になります。

これを求めると

\(\frac{4!}{2!2!}＝\frac{4×3×2×1}{2×1×2×1}＝6\)

となります。

【目の選び方】×【選んだ目の並べ方】が、求める場合の数なので

９通り×６通りで５６通りということになります。

最後に確率を求めよう

これまでの場合の数を合計すると

１０８通り＋１０８通り＋５６通りとなりますね。

よって求める確率は

\(\frac{\color{red}{１０８通り＋１０８通り＋５６通り}}{6^4}＝\frac{5}{24}\)

となります。

いかがでしたでしょうか？

今回の問題のように、選び方と並び方を分けて考えると、整理された考え方の助けにもなりますので、習得していただければと思います。

以上、さいころの確率を扱った、反復試行の要素の問題と、定期テストレベルの良問を解説しました★

また次回お会いしましょう★