因数分解や解の公式を使った二次方程式の解き方まとめ

今回は中学３年の数学で学習する、因数分解や解の公式を利用した、二次方程式の解き方についてお話しようと思います。

これを見れば、基本パターンはすべて網羅できるようになっています。

一通りの手順を解説しましたら、後半からこの練習プリントの問題を解説していきます。

これはPDF形式の無料でダウンロードいただけるプリントですので、必要な方は、この下のプリント画像をクリックしてください☆ダウンロードできる表示に切り替わります。

また、この練習問題は、公立高校入試の対策や中学３年生の定期テスト対策にも利用してください。

それではここからは、この問題の解答・解説授業もご覧いただける授業動画をご視聴ください☆

以下はこの内容の板書になります。

それでは、さっそく始めていきましょう。

まず、右側の画面は紫色のゾーンと緑色のゾーンと青色のゾーンの三種類にわけてまとめています。

それぞれ、二次方程式の形のパターンによって色分けしているのですが、とりあえず一番ちいさな青色のゾーンから説明していきます。

これは、二次方程式の形のなかでも数字だけの項がないパターンですね。

ｘも、ｘの２乗も掛かっていない数字だけの項がここにはないですよね。

左側の例題には

ｘの２乗＋２ｘ＝０

とあります。

ｘの２乗にも、２ｘにもどちらもｘが１個共通して掛かっていますね。

これを共通因数といいます。

この共通因数である１個のｘを先頭にくくり出します。

どうでしょうか？

ｘと（ｘたす２）が掛け算の形でつながった形になったと思います。

このように、すべて掛け算の形につながった形に変形することを因数分解するといいます。

たとえば６は３×２という掛け算の形に分解できますね。

２と３は、６という数字をつくる原因になっている数ですよね。

因数に分解するというのは、こういうことです。

とくにこの場合は、２も３も素数なので、素因数に分解する「素因数分解」という工程になります。

さて、さきほど因数分解した方程式の左辺を見てみましょう。

ｘと（ｘ＋２）の二つの因数がありますが

黄色のｘの部分が０だった場合は、その右側の（ｘ＋２）がどんな数であったとしても、「０かける何か」のかたちになりますので、イコールゼロになって、この場合、方程式は成り立ちますね。

なので、ｘ＝０は解のひとつになります。

また、（ｘ＋２）の部分が０のとき、黄色のｘがどんな数であっても、掛け合わせるとイコールゼロになって、方程式が成り立ちますね。

なので、ｘ＋２が０のとき、ｘはなんだろうか？

という計算をすることになります。

ｘ＋２＝０という方程式を解けば、その時のｘが－２だということが明らかになりますよね？

というわけでｘ＝－２というのも、解のひとつということがわかりました。

さっきの解がｘ＝０でしたから、それも含めて解が二つ求められました。

これが青色のゾーンのパターンですね。

次に緑色のゾーンのパターンをお話します。

上のほうに「ｂがない」という表記がありますが、「ｂｘがない」という意味に解釈してもらえればと思います。

今表示しているのは表のなかの⑤のパターンですね。

この問題の方程式の意味はこういうとこです。

「ある数ｘを２乗すると９になりますよ。さて、ｘはなんでしょうか？」

こういうことですね。

２乗して９になるのは＋３と－３ですね。

なので、この二次方程式の解は＋３と－３ということになります。

また、この二次方程式はこのように変形した形で登場することもあります。

この形のほうが「ｂｘの項がないパターンだ」ということがよくわかりますね。

右辺をイコールゼロの形に変形してから「さてどのパターンだ？」と考えると、どの色のゾーンの問題か？ということを間違うことがないです。

この問題ですが、左辺が２乗引く２乗のかたちになっていることがわかりますでしょうか？

ｘの２乗はすでに２乗という表現になっていますし、９だって３の２乗ですよね。

２乗引く２乗の形になってるばあい、「公式」と書いてあるように、因数分解の公式を当てはめることができます。

ちなみにこの因数分解の公式を逆に使うと、展開の公式としても使うことができます。

ともかくこの問題の左辺は

（ｘ＋３）かける（ｘ－３）という形に変形することができました。

ここからは⑥の問題の時と同じように考えます。

（ｘ＋３）が０のときも方程式が成り立ちますし

（ｘ－３）が０のときも方程式が成り立ちます。

なので、

ｘ＋３＝０を解いてｘ＝－３

ｘ－３＝０を解いてｘ＝＋３

ということになります。

ちょっとここでもういちど⑤のパターンの問題を見てもらいましょう。

さっきとは右辺の数字が変わっていますね。

これも先程と同様、

「２乗して７になる数字は何になるか？」

ということを考えます。

解はｘ＝ルート７とｘ＝－ルート７になります。

このルートというのは平方根を求めるときに登場する記号です。

今、２乗して７になる数は？ということを考えていたわけですが。

この２乗して７になる数を求めることを「７の平方根を求める」というように表現します。

平方という言葉は、平方メートルという単位で聞いたことがあるかと思います。

あの記号ってメートルに２乗のマークがついていますよね。

平方には２乗という意味があるのですね。

たしかに正方形だったらその１辺の長さを２乗すると面積が求められますよね。

例えば

２乗して面積が７になるような正方形の１辺の長さを求めよ。

と言われれば、一辺の長さはルート７になるわけですが

これってつまり

・平方して（２乗して）７になるための、根っこの部分の数字ルート７を求めた

という言い方をすれば平方根の意味もわかりやすいかと思います。

ただ、これは長さを求める話なので、計算上はマイナスルート７も７の平方根のうちのひとつになりますよね。

さて、それではいよいよ、一番広い、紫のゾーンにある解法のパターンについて解説していきます。

この二次方程式のパターンは、ｂｘもｃも登場しているパターンです。

まずは③の問題を見てみましょう。

これは、

左辺が、なにかの２乗

右辺が、ｘのついていない数字

になっていますね。

これってさっき平方根のお話をした⑤のパターンと同じですね。

なので、同じ解き方ができます。

赤い四角で囲まれた部分を見てください。

（ｘ＋５）の部分をひとつの数字だとみなすと、この部分は結局＋３または－３だということがわかりますね。

つまり

（ｘ＋５）の部分が＋３のときのｘを求めて

（ｘ＋５）の部分が－３のときのｘを求めればいい

ということがわかります。

（ｘ＋５）の部分が＋３のときは

（ｘ＋５）＝３になりますね。

これを解くとｘ＝－２になります。

（ｘ＋５）の部分が－３のときは

（ｘ＋５）＝－３になりますね。

これを解くとｘ＝－８になります。

結局ｘは－２と－８であるということがわかりました。

特に中学生に覚えておいて欲しいのですが、

もし問題文に

「平方根の考えを使って解きなさい」

などと書いてあった場合は、この解き方でないといけません。

あとで説明しますように、展開してから全体を因数分解したり、解の公式を使って解くという別の方法はしないでください。

次のその展開して解く方法について説明します。

まず、さっきの問題である③のかたちを右表の①のかたちにしてから因数分解で解く、という手順をお話します。

これはまず、左辺に対して展開の公式を使うのですが、公式を覚えていなくても

（ｘ＋５）かける（ｘ＋５）を分配法則にしたがって展開していけば、同じ結果になります。

展開した左辺に、さらに右辺にある９を左辺に移項すれば、①の二次方程式になります。

それを因数分解する方法ですが

まず、ｘのついていない１６を見ます。

かけて１６になる二つの数字は何かな？と考えます。

１と１６とか

２と８とか

４と４とか

－１と－１６とか

いろいろ出てくると思います。

次に、１０ｘの項を見ます。

ｘの係数の１０に注目します。

さっきあげたペアの数字のなかから

今度は足して１０になる数字のペアを探します。

この場合、２と８がそれにあたりますね。

それを下の式のように因数分解した形に放り込んで完成させます。

(ｘ＋２)(ｘ＋８)＝０が完成しました。

あとはもうお分かりですね。

（ｘ＋２）の部分が０のとき、方程式は成り立つので

その時のｘを求めるとｘ＝－２になります。

（ｘ＋８）の部分が０のときも、方程式は成り立つので

その時のｘを求めるとｘ＝－８になります。

さあ次は、二次方程式の解の公式を使った解法を覚えてもらいます。

「解の公式」と書かれた茶色い四角い囲みが、左側にありますのでご覧下さい。

二次方程式の右辺を０にしたときに、それぞれ各項の係数がありますね。

この場合、公式には

ｘの２乗の項の係数はａと書いてありますね。

例題では

ｘの２乗の項の係数は省略されていますが１がそれにあたります。

なので公式のａに該当するのは１になります。

また、公式には

ｘの項の係数にはｂが書いてありますね。

例題では

ｘの項の係数は１０とあります。

なので公式のｂに該当するのは１０ということになります。

また、公式のＣに該当するのは

数字だけの部分なので１６ということになります。

ａ＝１
ｂ＝１０
ｃ＝１６

ということがわかったので、それを茶色の囲みにあるごちゃごちゃした解の公式に当てはめて解きます。

二次方程式の解の公式の覚え方ですが、これは３０回ぐらい声に出してくりかえせばだいぶ覚えられます。

結構長いので

にーえーぶんのまいなすびー

の部分と

びーにじょうまいなすよんえーしー

をそれぞれ別々に何度も繰り返して暗記してから、全体を空で言えるようになることをオススメします。

というのも、高校数学で２つのこの部分がそれぞれ活躍することになるので

どっちにせよ、聞いたことがある状態にしておくとあとで便利です。

このパターンだけもはや計算問題ですが、計算ミスだけ気をつけてください。

計算の途中に「注意」と黄色で書かれているところがありますがミスをしやすいポイントです。

－１０と±６は掛け算でつながっておらず、別々の項になっています。

それを分母の２で割る場合は、まとめて割らないといけません。

－１０は－５になり、±６は±３になるということですね。

よくわからない方が多い場合は、この内容だけ改めて説明しようと思いますが、ここではこれぐらいの説明にしておいて先に進みます。

解は結局、ｘ＝－２と－８になりましたね。

次は裏技というほどでもありませんが、このややこしい解の公式の計算をちょっとだけ簡単にできる方法をご紹介します。

ちなみにこれはちょっとオマケの内容になります。

今の問題ではｘの係数が１０になっていましたね。

この１０という数字は偶数になっています。

このようにｘの係数が偶数の場合に使える公式があるのでそれを紹介しておきます。

ｂの半分をｂダッシュとします。

すると解を求めるときの式が、少し簡単になっているのがわかりますでしょうか。

さっき分母が２ａだったのが、ａになっていますよね。

ルートのなかの計算も、ちょっと簡単になっています。

ｂ２乗－４ａｃ

だったのが

ｂダッシュ２乗－ａｃ

とちょっとだけ簡単になりましたね。

数字を代入したあとの計算過程もさっきと比べて結構すっきりしています。

ただ、さっき紹介した解の公式がしっかり定着できた方のみ、この方法を取り入れたい方は取り入れてください。

そして、もしも定期テストなんかで「２次方程式を解の公式を使って解きなさい」と指示があった場合は

、教科書に載っているさっきの方法で解いたほうが無難です。

ただ授業中にこの方法を習ったりしていたらおそらく使ってもいいかもしれませんが、このあたりは状況に応じて使い分けてください。

まあ、答えだけを解答させる場合は、役に立つこともあるでしょう。

ただ、くれぐれも一般的な解の公式が使えるようになってから、取り入れるかどうかを考えてください。

最後になりましたが、解法のパターンとして

一番ややこしい手順を紹介します。

①やそれを変形した②から

③の形に変形して、平方根の考えかたを使って解く

という手順になります。

この方法は正直めんどくさいと感じる方もいると思いますが

教科書に登場しているので仕方がないです。

あとは、高校数学で必要になる平方完成という変形の練習になってるので

まあ計算問題の一種と割り切って練習しておきましょう。

白い囲みに書いてあるように

「(ｘの１次式)の２乗＝ｋの形に変形して解きなさい。」

という指示があれば今回の手順を使います。

まず、ｘ係数にあたる１０に注目します。

この１０を半分にします。

５になりますね。

そして、その５を２乗します。

２５ですね。

それを、方程式の右辺にも左辺にも加えます。

もともと右辺と左辺はイコールが成り立っていた方程式ですよね。

その右辺と左辺にそれぞれおなじ２５を足すので、出来上がった方程式のイコール関係は相変わらず成り立っていますよね。

２５を足した左辺の部分は因数分解できます。

公式が小さく書いてありますが

この公式は別に覚えなくても変形することはできます。

さっき、かけて１６になる数字とたして１０になる数字を探して

(ｘ＋２)(ｘ＋８)というように因数分解した話を覚えていますでしょうか？

別にこの方法を使って因数分解してもいいのです。

ちょっとやってみましょう。

この場合は

かけて２５になって、たして１０になる２つの数字を探すことになります。

かけて２５になる数字から探したほうが、見つけやすいです。

どうでしょうか？

５と５という組み合わせが見つかりましたでしょうか。

これで

(ｘ＋５)(ｘ＋５)という形に因数分解できましたね。

これで③の形に変形することができました。

あとはすでに説明した③の方法で解けばＯＫということですね。

因数分解を利用した二次方程式の練習問題を無料プリントでどうぞ

長々と説明しましたが、一応これで中学数学で習う二次方程式の解法の全パターンを網羅できたかと思います。

ここまでシンプルで簡単な例題で説明してきましたが、

ここからは、ちょっとだけひねったレベルのものも混ぜながら、定期テストに出題されそうな問題に慣れてもらおうと思います。

まずは復習です。

これは①のパターンですので、このまま因数分解できるかどうかを試すのがいいでしょう。

このように、かけて１６、たして－８になるような２つの数字を探します。

－４と－４ですね。

(ｘ－４)(ｘ－４)＝０になりますね。

同じものを２回掛けているので左辺は

(ｘ－４)の２乗

というように短く書き直すことができます。

あとはご覧の通りで

ｘ＝４になります。

次はこの２問です。

どうでしょうか？

わかりましたでしょうか？

上の問題は最初から因数分解されていて右辺が０なので、答えまであと少しという状態になっています。

カッコのなかが見たことのない形になっていて戸惑う方もいるかも知れませんがやることは一緒です。

（１－ｘ）の部分が０のとき、（３ｘ＋１）がどんな数字になっていても

そこに０が掛かるので、イコールゼロという方程式が成立しますよね。

なので、（１－ｘ）が０の場合は、ｘが何であればいいかを計算すればいいことになります。

つまり、１－ｘ＝０という方程式を解いてｘ＝１ということになりますね。

これが解のひとつです。

もうひとつも同様に考えます。

（３ｘ－１）の部分が０のときだったら（１－ｘ）がどんな数字であったとしても

そこに０がかかることになるので、イコールゼロという方程式が成立しますよね。

なので、（３ｘ－１）が０の場合は、ｘが何であればいいかを求めることになります。

よって、３ｘ－１＝０を解いて、ｘ＝マイナス３分の１ということになります。

これで二つ目の解がでましたね。

続いて下の問題を見てみましょう。

まずこれは、右辺に５ｘがあって見にくいので、左辺に移項します。

するとこれは青色のゾーンにある⑥の解法パターンだということに気がつくと思います。

あとはさっきと同じように解いてください。

次はこの問題です。

これは、解の公式を使って解く方法もありますが、せっかくなので工夫して解く方法を解説します。

定期テストにも「工夫して解け」みたいな問題も出る可能性もありますので、必要な方はご覧ください。

まず、右辺の項をすべて左辺に移項させて右辺を０にします。

ｘの２乗の係数である５０が大きいので、もし解の公式を使うとしたら計算が大変そうだなあと思います。

なんかコレ、小さくできないかなあと観察してみます。

すると左辺の項がすべて２の倍数になっていることに気がつきます。

５０も－２０も２もすべて２の倍数ですよね。

なので両辺を２で割ります。

左辺に登場していた数字はすべて半分になりました。

右辺は０を２で割ったので依然として０のままです。

式が簡単になったのでここで二次方程式の解の公式を使うのもありです。

ですが、今回はここから工夫する方法をご紹介します。

まず２５という数字が５の２乗になっているということに気がつく必要があります。

これに気がついたら２５ｘの２乗という項が５ｘの２乗だということがわかります。

そして見やすいように５ｘをＸに置き換えて表現を変えてみます。

すると、ご覧のような式が現れました。

Ｘの２乗－Ｘ＋１＝０ですね。

これは因数分解できるので

因数分解すると、結局

（Ｘ－１）の２乗＝０になります。

そこで

Ｘを５ｘという表現にもどします。

あとは

（５ｘ－１）の部分が０になるときのｘを求めて答えを出すということですね。

さて、続いてこちらの問題ですが

解き方に注文をつけています。

平方根の考えを使って解きなさいとありますがどうでしょうか？

右の表のどのパターンの問題だったか思い出せるでしょうか？

左側のふたつの問題は④を⑤に変形して解く問題。

右側のふたつの問題は③の問題でしたね。

また、下の二つの問題は分数の形でルートが登場するという形になっています。

このあたり、ややこしいと感じる方が多いと思ったので練習問題として登場させておきました。

それでは次で最後の問題です。

中学で習う二次方程式の解き方を総復習できる柔軟な問題です。

右の表を見ながらできるだけ多くのパターンで解いてみましょう。

どうでしょうか？

ここには４パターンの解き方が書いていますが、どれだけ解答できたでしょうか？

解の公式はｂが偶数だった場合の計算も書いていますので、これも含めると全部で５パターンですね。

「猫に数学」の公式サイトには、今回登場した問題をＰＤＦにして無料でダウンロードできるようにしてありますので、手を動かして練習したいという方はどうぞプリントアウトして使ってください。

あと今回のパターンをもっといろいろ練習したいとか、公立高校入試の最初の計算問題なんかもリクエストがあれば登場させる予定です。

動画で解説をきけてプリントもダウンロードできるようにしようかと思っています。

なのでご希望があればリクエストお願いします。

以上、中学３年生の数学で勉強する、因数分解と解の公式を使った二次方程式の解き方について、解説とその練習問題でした☆

次回は「たすきがけ」による因数分解を利用した、少し難しめの二次方程式を解く方法について解説します。

ご質問がありましたら、YouTube授業動画のコメント欄に記入いただけると、僕の時間の許す限りですが、返答させていただきます。