ｎ進数（ｎ進法）の掛け算と筆算の方法

今回は、ｎ進数の掛け算（積）の筆算の手順と、筆算を使わない方法の２種類を解説します。

問題：５進法で表された２つの数\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の積を5進法で表せ。
題材：札幌医科大学(2017年)記数法、基礎レベル	難易度：★★☆☆☆☆☆☆☆☆

まずは筆算を使った掛け算を紹介します。

ｎ進数の掛け算～筆算を使った方法～

このように筆算の形に書き並べます。※掛け算のマークを書きこむと数字の並びがずれてしまうので、このページでは省略しています。

　　１２３
　　　２４
________

手順としては、掛け算の筆算と同じ方法で計算していきます。

まずは赤い部分を計算しますね。

３×４は１２ですが、これを５進法で表現します。

１２は２×５＋２なので、２２ですね。

なので、最初の３×４をした段階で、このようになります。

　　１２３
　　　２４
________
　　　２２

次に、２×４の掛け算をします。８となりますが、これは５進法で表すと１３ですね。

※８は１×５＋３なので。

その結果このようになります。

　　１２３
　　　２４
________
　　１５２

ここで注意！

５進法での表記は、５以上になると繰り上がらなければいけません。

なので、このように書き直します。

　　１２３
　　　２４
________
　　２０２

次に１×４の掛け算をします。４となります。５進法でも４のままですね。

その結果、このようになります。

　　１２３
　　　２４
________
　　６０２

…が５進法での表記は、５以上になると繰り上がらなければいけません。

なので、ここでもさらに、このように書き直します。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２

次に赤色の部分を掛け算します。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２

３×２ですね。

これは６となり、５進法で表すと１１となります。

※６は１×５＋１なので。

結果、こうなります。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２
　　１１

次に２×２の掛け算をします。

４ですね。５進法でも表記は４です。

結果、このようになります。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２
　　５１

ここでどうするかはもうお分かりですね。

繰り上げる必要がありますので、こうなります。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２
　１０１

最後に１×２をしてその結果の２を加えます。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２
　３０１
________

このようになりました。

あとはこれを足し算して終わりです。

その際、繰り上がりに注意してください。

　　１２３
　　　２４
________
　１１０２
　３０１
________
　４１１２

この４１１２が５進法で表記された掛け算の結果です。

この方法は、２進数でも３進数でも通用するｎ進数の掛け算の一般的な方法になります。

続いて２つめの方法でｎ進法の掛け算を練習しましょう。

ｎ進数の掛け算～筆算を使わない方法～

２つ目の方法は、文字式を利用した解法です。

問題：５進法で表された２つの数\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の積を5進法で表せ。

x＝5と置いて、

まずは、\(123_{(5)}\)と\(24_{(5)}\)の表現を変えます。

\(123_{(5)}＝5^2＋2 \cdot 5＋3＝x^2＋2x＋3\)

\(24_{(5)}＝2 \cdot 5＋4＝2x＋4\)

この表記で積を求めてゆきます。

\(123_{(5)}×24_{(5)}＝(x^2＋2x＋3)(2x＋4)\)

\(＝2x^3＋8x^2＋14x＋12\)

ここでもしも、各項の係数が４以下になっていれば、そのまま５進法の表記として解答することができます。 どういうことかと言うと、例えばここでもしも \(2x^3＋4x^2＋3x＋1\) となっていれば \(2 \cdot 5^3＋4 \cdot 5^2＋3 \cdot 5＋1\) ということなので、これは 2431 という５進法による解答ができる、ということですね。 なので、先程の \(2x^3＋8x^2＋14x＋12\) も、そのような表現に持ち込むことを考えます。

\(＝2x^3＋(5＋3)x^2＋(2 \cdot 5＋4)x＋(2 \cdot 5＋2)\)

\(＝2x^3＋(x＋3)x^2＋(2x＋4)x＋(2x＋2)\)

これらを、展開、整理します。

\(＝3x^3＋5x^2＋6x＋2\)

ここでさらに、５進法による表記を可能にするために

各項の係数を４以下にします。

\(3x^3＋5x^2＋6x＋2\)

\(＝3x^3＋5 \cdot x^2＋(5＋1)x＋2\)

\(＝3x^3＋x \cdot x^2＋(x＋1)x＋2\)

再びこれを整理すると、このようになります。

\(＝4x^3＋x^2＋x＋2\)

すべての項の係数が４以下になりました。

これで求める積の値を、５進法で表記することができますね。

\(4x^3＋x^2＋x＋2\)

\(＝4 \cdot 5^3＋5^2＋x＋2\)

なので

求める積の値は

\(4112_{(5)}\)

ということですね。

以上、今回は、ｎ進数の掛け算の方法について解説しました☆